全国2003年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设矩阵 则必有（　　　）
A.PA=B         B.P2A=B
C.AP=B         D.AP2=B
2.设 则方程f(x)=0的全部根为（　　　）
A.-1，0    B.0，1    C.1，2    D.2，3
3.设非齐次线性方程组Ax=b有n个未知数，m个方程，且秩（A）=r，则下列命题正确的是（　　　）
A.当r=m时方程组有解     B.当r=n时方程组有唯一解
C.当m=n时方程组有唯一解    D.当r<n时方程组有无穷多解
4.齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为（　　　）
A.1     B.2     C.3     D.4
5.若方阵A与对角矩阵D= 相似，则A6=（　　　）
A.A     B.-E     C.E     D.6E
6.若向量组（I）：α1，α2,…，αs可由向量组（II）：β1，β2，…，βt线性表示，则（　　　）
A. s<t         B. s=t    
C. t<s         D. s, t的大小关系不能确定
7.设A是n阶方阵，且A2=E，则必有A=（　　　）
A.E     B.-E     C.A-1    D.A*
8.下列矩阵为正交矩阵的是（　　　）
A.        B. 
C.       D.
9.已知矩阵 与矩阵 相似，则（　　　）
A. x=0,y=0        B. x=1,y=1
C. x=1,y=0        D. x=0,y=1
10.二次型f(x1,x2,x3)= 是（　　　）
A.正定的         B.半正定的
C.负定的         D.不定的
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
11.已知3阶行列式|A|中第3列元素依次为-1，2，0，它们的余子式依次为5，3，-7，则|A|=__________.

12.设矩阵A= ，则A*=__________.
13.向量组α1=（1，2，3，4），α2=（2，3，4，5），α3=（0，0，1，2）的秩为__________.
14.设向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），向量γ满足3α-2γ=5β，则向量γ=__________.
15.已知向量组α1=（1，α，-2），α2=（3，6，-6）线性相关，则α=__________.
16.设A是n阶方阵，x1,x2均为方程组Ax=b的解，且x1≠x2,则|A|=__________.

17. 设齐次线性方程组  有非零解，则k=__________.

18.设A=  ，则A的3个特征值为__________.

19.设有线性变换  ，则 中的矩阵P=__________.
20. 二次型f(x1,x2)= x1x2的负惯性指数是__________.
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
21.设矩阵A= ，求（1）A2；（2）A6.

22.计算行列式 

23.求矩阵A= 的秩.

24.设矩阵X满足矩阵方程

 
求X.
25.λ取何值时，线性方程组  有解？在有解时求出通解.

26. 设矩阵A= 有特征值1，相应的特征向量为 求a, b.

27.用施密特正交化方法，化线性无关向量组α1= ，α2=  ，α3= 为正交向量组.
28.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)= x1x2+ x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
29.设A为实2阶方阵，且|A|<0.证明：A与对角矩阵相似.

30.设矩阵A= 和B=  的行向量依次为α1，α2和β1，β2.

证明向量组{α1，α2}与向量组{β1，β2}等价.